HIPÓTESIS DE PLANCK problemas resueltos

Un fluorescente puede produir 10 W de luz visible. Si la longitud de onda es de 480 nm, cuantos fotones por segundo emite este fluorescente?

SOLUCIÓN:

A partir del dato de la longitud de onda podemos determinar la energía asociada a cada fotón de los que emite el fluorescente:

Dado que la potencia del fluorescente es de 10 W, la energía que emite en cada segundo es:

Ahora podemos determinar cuántos fotones suponen esos 10 J de energía: 

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EFECTO FOTOELÉCTRICO

a) Explica la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico.
b) Se ilumina la superficie de un metal con dos haces de longitudes de onda  y . Se observa que la energía cinética de los electrones emitidos con la luz de longiud de onda  es el doble que la de los emitidos con la de . Obtén la energía cinética con que salen los electrones en ambos casos y la función trabajo del metal.
 ; 

SOLUCIÓN:

a) Se conoce como Efecto Fotoeléctrico a la emisión de electrones que puede producir un metal cuando se le ilumina con la luz adecuada. Este efecto fue explicado por Albert Einstein basándose en la naturaleza corpuscular de la luz.
La radiación con la que se ilumina la superficie del metal lleva asociada una energía que depende de su frecuencia (). Esa energía es la que portan los fotones o partículas de luz y puede ser transferida a los electrones de la superficie del metal cuando colisionan con los fotones. Si la energía de los fotones es mayor que la energía necesaria para extraer el electrón de la superficie del metal (trabajo de extracción o energía umbral) pueden abandonar esos electrones el metal. Si la energía de los fotones es MAYOR que esa energía umbral, y teniendo en cuenta que la energía ha de conservarse, el exceso de energía se transforma en energía cinética de los electrones, cumpliéndose así la ecuación .
Este efecto tiene ciertas características:
- Se produce de manera instantánea.
- Solo se produce emisión de fotoelectrones si la energía de la radiación incidente es mayor que la energía umbral.
- La energía cinética de los fotoelectrones solo depende de la frecuencia de la radiación y no de su intensidad.
- El número de fotoelectrones emitidos es directamente proporcional a la intensidadde la radiación (o el número de fotones de esta).

Puedes ver una explicación de este efecto en el vídeo que tenemos publicado AQUÍ

b) Siguiendo la ecuación que hemos indicado en el apartado anterior, podemos establecer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tendremos que resolver:


Sabemos que  y podemos sustituir este valor y aplicar método de reducción al sistema de ecuaciones para llegar a la expresión: 
Ahora solo nos queda expresar esta ecuación en función de los datos facilitados:

Sustituimos por los datos y resolvemos: 

La energía cinética para los electrones en la primera radiación es, por lo tanto, el doble que la que hemos calculado:

Para calcular el trabajo de extracción, que es el mismo en ambos casos, tomamos la ecuación de la segunda radiación y resolvemos:

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a) Explica la conservación de la energía en el proceso de emisión de electrones por una superficie metálica al ser iluminada con luz adecuada.
b) Los fotoelectrones expulsados de la superficie de un metal por una luz de  de longitud de onda en el vacío son frenados por una diferencia de potencial de 0,8 V. ¿Qué diferencia de potencial se requiere para frenar los electrones expulsados de dicho metal por otra luz de  de longitud de onda en el vacío? Justifica todas tus respuestas.
 ;  ; 

SOLUCIÓN:

a) El efecto fotoeléctrico, que es el fenómeno por el que un metal emite fotoelectrones al ser iluminado por una radiación con energía suficiente, se produce cuando la radiación que incide tiene una energía superior a la energía umbral o energía mínima necesaria para realizar el trabajo de extracción de los electrones.
Si tenemos en cuenta que la energía de la radiación, por estar cuantizada, viene dada por la ecuación de Planck, y ésta ha de servir para realizar el trabajo de extracción de los electrones y ponerlos en movimiento con una velocidad determinada, podremos establecer una ecuación que describa el proceso en términos energéticos:

siendo  la energía de la radiación incidente,  la energía umbral o trabajo de extracción de los fotoelectrones y  la energía cinética que adquieren los electrones si la energía incidente el mayor que la energía umbral.
La ecuación anterior puede ser reescrita del siguiente modo: 

b) Conociendo la longitud de onda de la primera radiación incidente y el potencial necesario para frenar los fotoelectrones podemos calcular la energía umbral o trabajo de extracción del metal. Para ello debemos tener el cuenta que el trabajo eléctrico ha de ser igual a la energía cinética de los fotoelectrones, y tendremos que reescribir la ecuación del apartado anterior del siguiente modo:

 

Ahora sustituimos los valores y calculamos el trabajo de extracción o energía umbral del metal, que será la misma en todos los casos:

El potencial necesario para frenar los fotoelectrones cuando irradiamos con la segunda radiación se puede determinar a partir de la misma ecuación de antes, pero despejando el valor del potencial:

Debemos recalcular la energía de la radiación incidente porque la longitud de onda es distinta de la que usamos para hacer el primer cálculo:

----------------------------a) Enuncia el principio de dualidad onda-corpúsculo. Si un electrón y un neutrón se mueven con la misma velocidad, ¿cuál de los dos tiene asociada una longitud de onda menor? 

b) Una lámina metálica comienza a emitir electrones al incidir sobre ella radiación de longitud de onda . Calcula la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos si la radiación que incide sobre la lámina tiene una longitud de onda de .
Datos:  ;  ; 

SOLUCIÓN:

a) Fue Louis De Broglie el que enunció el principio de la dualidad onda-corpúsculo, referido a toda partícula que se mueve pero, de manera práctica, aplicado a sistemas microscópicos, de escala cuántica. Este principio establece que toda partícula que se mueve lleva asociada una onda cuya longitud de onda es inversamente proporcional al momento lineal de la partícula. Dedujo esta ecuación igualando las expresiones de la energía dadas por Max Planck () y Albert Einstein (). Al igualar ambas expresiones para el caso de un fotón, y sustituir el valor de la frecuencia por la longitud de onda (), se obtiene: 

Esta expresión se puede generalizar para otras partículas subatómicas, siendo su ecuación:

Si tenemos un neutrón y un electrón que se mueven a la misma velocidad, el factor que determinará la diferencia entre sus longitudes de onda será la masa de cada uno. Como es un valor que aparece en el denominador de la expresión anterior, cuanto mayor sea la masa de la partícula, menor será la longitud de onda:

b) Sabemos que la energía de una radiación viene dada por la ecuación de Planck: .
Podemos reescribir esta ecuación en función de la longitud de onda de la radiación si tenemos en cuenta que el producto de la frecuencia por la longitud de onda es igual a la velocidad de propagación, por lo que la ecuación anterior nos quedaría de la forma: 
Si aplicamos el principio de conservación de la energía parece claro que la energía de la radiación incidente ha de ser igual a la suma de la energía umbral (necesaria para que se producza el efecto fotoeléctrico) y la energía cinética de los fotoelectrones, por lo tanto:

Sólo nos queda sustituir y calcular:

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Las longitudes de onda del espectro visible están comprendidas, aproximadamente, entre 390 nm en el violeta y 740 nm en el rojo. ¿Qué intervalo aproximado de energías, en eV, corresponde a los fotones del espectro visible?

SOLUCIÓN:

De 1,7 a 3,2 eV

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Una superficie de aluminio se ilumina con luz de 300 nm de longitud de onda. Si el trabajo de extracción del aluminio es 4,06 eV, ¿cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones extraídos?

Datos:  ; 

SOLUCIÓN:

La energía que incide sobre el metal se debe invertir en extraer a los fotoelectrones y acelerarlos hasta una velocidad determinada, que sería la energía cinética de éstos: 
Si despejamos tenemos que la energía cinética será la diferencia entre la energía que incide y la que se invierte en extraer los electrones: . Solo tenemos que calcular la energía incidente.
Sabemos que la energía de una radiación es  pero la frecuencia de la radiación se puede relacionar con la longitud de onda, así que podremos reescribir la ecuación anterior como:  

Convertimos el resultado a la misma unidad de energía (eV):

Ahora podemos determinar la energía cinética de los fotoelectrones extraídos:

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Para extraer un fotoelectrón de la superficie de un metal se requiere una energía de 2,1 eV. ¿Cuál es la frecuencia umbral del material?

SOLUCIÓN:

En primer lugar debemos expresar la energía de extracción en unidades SI, es decir, en julios: 

La energía de extracción es: . Despejando:

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Un electrón salta de un nivel energético más externo a otro más interno con una diferencia de energía de , ¿cuál es la frecuencia de la radiación emitida por el átomo?

SOLUCIÓN:

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Un objeto metálico muy caliente emite una radiación de intensidad máxima para una longitud de onda de 610 nm. Si la potencia a la que emite el metal es 0,115 W, ¿cuántos fotones emite en un minuto?

SOLUCIÓN: